數論之數的整除性

2007-12-04 18:45:14 　來源：

① 一個數的末位能被2或5整除，這個數就能被2或5整除；

一個數的末兩位能被4或25整除，這個數就能被4或25整除；

一個數的末三位能被8或125整除，這個數就能被8[!--empirenews.page--]或125整除；

……

② 一個數各位數數字和能被3整除，這個數就能比9整除；

一個數各位數數字和能被9整除，這個數就能被9整除；

③ 如果一個整數的奇數位上的數字之和與偶數位上的數字之和的差能被11整除，那么這個數能被11整除.

④ 如果一個整數的末三位與末三位以前的數字組成的數之差能被7、11或13整除，那么這個數能被7、11或13整除.

分析：現在要求被11除余8，我們可以這樣考慮：這樣的數加上3后，就能被11整除了．所以我們得到“一個數被11除余8”的判定法則：將偶位數字相加得一個和數，再將奇位數字相加再加3，得另一個和數，如果這兩個和數之差能被¨除盡，那么這個數是被11除余8的數；否則就不是．

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要把1，9，8，8排成一個被11除余8的四位數，可以把這4個數分成兩組，每組2之和加上3記作B．我們要適當分組，使得能被11整除．現在只有下面4種分組法：

偶位奇位

(1) 1，8 9，8

(2) 1，9 8，8

(3) 9，8 1，8

(4) 8，8 1，9

[!--empirenews.page--]經過驗證，第(1)種分組法滿足前面的要求：

A=1＋8=9，B=9＋8＋3=20，B－A=11能被11除盡．

但其余三種分組都不滿足要求．根據判定法則還可以知道，如果一個數被11除余8，那么在奇位的任意兩個數字互換，或者在偶位的任意兩個數字互換得到的新數被11除也余8．于是，上面第(1)分組中，1和8任一個可以作為千位數，9和8中任一個可以作為百位數．這樣共有4種可能的排法：1988，1889，8918，8819．

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